Η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της, σε μια κυκλική κίνηση.

Ένα σώμα μάζας 2kg διαγράφει οριζόντιο κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας R=(8/π) m, δεμένο στο άκρο νήματος, με ταχύτητα σταθερού μέτρου υ=2m/s. Τη στιγμή t0=0, το σώμα διέρχεται από το σημείο Α του σχήματος.
i)  Ποια η θέση και η ορμή του σώματος τη στιγμή t1=2s;
ii) Να βρεθούν:
α) Η μεταβολή της ορμής μεταξύ των χρονικών στιγμών tκαι t1.
β) Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος τη στιγμή t1.
iii) Αν τη στιγμή t2=4s, κόψουμε το νήμα να βρεθεί η θέση, η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος τη στιγμή t3=6s.
ή
Η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της, σε μια κυκλική κίνηση.

Δυο σώματα που πρόκειται να συγκρουστούν.

Από την ταράτσα μιας πολυκατοικίας σε ύψος Η=40m εκτοξεύεται οριζόντια, τη στιγμή t0=0, μια μικρή σφαίρα μάζας m1=0,6kg με αρχική ταχύτητα υ01=20m/s.  Ταυτόχρονα, μια  δεύτερη σφαίρα μάζας m2=0,4kg, εκτοξεύεται από το έδαφος κατακόρυφα προς τα πάνω, από ένα σημείο Α, το οποίο απέχει απόσταση d=40m από την πολυκατοικία. Οι δύο σφαίρες συγκρούονται στον
αέρα πλαστικά, οπότε δημιουργείται ένα συσσωμάτωμα. Δίνεται ότι g=10m/s2.

i)   Ποια χρονική στιγμή έγινε η σύγκρουση των δύο σφαιρών.
ii)  Να βρεθούν οι ταχύτητες των δύο σφαιρών, ελάχιστα πριν την κρούση και αμέσως μετά.
iii) Να υπολογιστεί η απώλεια της μηχανικής ενέργειας εξαιτίας της κρούσης.
iv) Να βρεθεί η κινητική ενέργεια του συσσωματώματος, τη στιγμή που φτάνει στο έδαφος.
ή

Ένα σώμα πάνω σε αμαξίδιο.

Ένα σώμα Σ μάζας m=2kg ηρεμεί πάνω σε ένα ακίνητο αμαξίδιο μάζας Μ=3kg, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m, το οποίο έχει το φυσικό μήκος του ℓ0=40cm.
Σε μια στιγμή (t0=0) ασκούμε στο αμαξίδιο μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=4Ν, μέχρι τη στιγμή t1=10s, όπου η δύναμη παύει να ασκείται.
i) Αμέσως μόλις ασκηθεί η δύναμη F (για t=0+), να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της ορμής:
α) του σώματος Σ και
β) του αμαξιδίου.
ii) Να υπολογιστεί η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του συστήματος των δύο σωμάτων, τη στιγμή t2 = 4s.
iii) Κάποια στιγμή (t3<10s) το ελατήριο έχει μήκος ℓ1=45cm. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της ορμής κάθε
σώματος τη στιγμή αυτή.
iv) Μια άλλη στιγμή (t4 >10s) η ταχύτητα του αμαξιδίου έχει μέτρο υ2= 10m/s, με φορά προς τα δεξιά, ενώ το ελατήριο έχει μήκος ℓ1=20cm. Να βρεθούν για τη στιγμή αυτή:
α) Η ταχύτητα του σώματος Σ.
β) Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής κάθε σώματος.
v) Πόση ενέργεια μεταφέρθηκε στο σύστημα μέσω του έργου της δύναμης F;
Δίνεται ότι δεν αναπτύσσονται τριβές, ούτε μεταξύ σώματος Σ και αμαξιδίου, ούτε μεταξύ αμαξιδίου και εδάφους.
Υπενθυμίζεται ότι η δύναμη του ελατηρίου είναι ανάλογη της παραμόρφωσής του, σύμφωνα με το νόμο του Ηοοke Fελ=k∙Δℓ, ενώ ένα παραμορφωμένο ελατήριο έχει δυναμική ενέργεια η οποία υπολογίζεται από την εξίσωση Uελ=½ k∙(Δℓ)2.
ή

Η ορμή και η μεταβολή της ορμής ενός συστήματος.

Από ένα σημείο Ο σε ύψος Η=10m από το έδαφος,  κρέμεται ένα σώμα Σ μάζας m=1kg στο άκρο νήματος μήκους l=5m. Εκτρέπουμε το σώμα Σ, ώστε το νήμα να γίνει οριζόντιο και το αφήνουμε να κινηθεί. Το νήμα κόβεται τη στιγμή που γίνεται κατακόρυφο, με αποτέλεσμα το σώμα να πέφτει στο έδαφος και να συγκρούεται με ένα σώμα Σμάζας Μ=5kg,  το οποίο κινείται στο λείο οριζόντιο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα υ2=4m/s.
i) Να βρεθεί η ταχύτητα του Σ τη στιγμή που κόβεται το νήμα καθώς και η μεταβολή της ορμής του, στο διάστημα της κίνησής του στο άκρο του νήματος.
ii) Έστω t0=0 η στιγμή που κόβεται το νήμα. Να υπολογιστεί η ορμή του συστήματος Σ-Σ1, καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του συστήματος τη στιγμή t0.
iii) Ποια η οριζόντια απόσταση του σώματος Στη στιγμή t0,  από την κατακόρυφο που περνά από το σημείο Ο;
iv) Να υπολογιστεί η μεταβολή της ορμής του σώματος Σ, από τη στιγμή t0, μέχρι τη στιγμή t1, ελάχιστα πριν συγκρουστεί με το σώμα Σ1.
v) Να βρεθεί η ορμή του συστήματος Σ-Σ1, ελάχιστα πριν την σύγκρουσή τους.
vi) Αν κατά τη κρούση δημιουργείται συσσωμάτωμα, το οποίο συνεχίζει να κινείται οριζόντια, να υπολογίστε τη μεταβολή της ορμής του συστήματος η οποία οφείλεται στην κρούση.
Δίνεται g=10m/s2, ενώ τα σώματα να θεωρηθούν αμελητέων διαστάσεων.
ή

Άλλο ένα σύστημα και η τριβή.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια σανίδα μάζας Μ=4kg και πάνω της ένα σώμα Σ μάζας m=1kg. Σε μια
στιγμή t=0, ασκούμε στη σανίδα μια σταθερή οριζόντια δύναμη F=18Ν, μέχρι τη στιγμή t1=5s, οπότε η δύναμη παύει να ασκείται. Κοιτάζοντας το σύστημα, «βλέπουμε» το σώμα Σ να πλησιάζει το άκρο Α της σανίδας, ενώ ξέρουμε ότι μεταξύ σώματος Σ και σανίδας αναπτύσσονται τριβές.
i) Να σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται α) στη σανίδα,   β) στο σώμα Σ.
ii) Τη στιγμή t1 το σώμα Σ έχει ταχύτητα:
 α) προς τα δεξιά,    β) προς τα αριστερά,     γ) δεν κινείται.
iii) Αφού χαρακτηρίστε τις παραπάνω δυνάμεις ως εσωτερικές ή εξωτερικές, να εξηγείστε αν το σύστημα των σωμάτων σανίδα-σώμα Σ είναι μονωμένο ή όχι, στο χρονικό διάστημα 0-5s;
iv) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του συστήματος τη στιγμή t΄=3s, καθώς και η ορμή του τη στιγμή t1.
v) Τη χρονική στιγμή t2=7s, το σώμα Σ εγκαταλείπει την σανίδα έχοντας ταχύτητα μέτρου υ1=14m/s.
α) Η τελική αυτή ταχύτητα του σώματος Σ έχει κατεύθυνση, προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά;
β) Να υπολογισθεί η τελική ταχύτητα της σανίδας, μετά την απομάκρυνση του σώματος Σ.
γ)  Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και σανίδας είναι μ=0,2 και g=10m/s2, να υπολογιστούν:
γ1) Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής κάθε σώματος τη στιγμή t3=6s.
γ2) Η ταχύτητα κάθε σώματος τη στιγμή που παύει να ασκείται η δύναμη.
ή

Ένα αμαξίδιο με «πλάτη»…

Σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ, ηρεμεί μια σανίδα με «πλάτη», όπως στο σχήμα, μήκους l=3m και μάζας Μ, η οποία εμφανίζει με το επίπεδο συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=7/8. Σε μια στιγμή αφήνουμε στο πάνω άκρο της σανίδας, ένα μικρό σώμα Σ μάζας m=1kg, το οποίο δεν εμφανίζει τριβή με τη σανίδα. Το σώμα Σ φτάνοντας στο κάτω άκρο της σανίδας συγκρούεται πλαστικά με την «πλάτη», με αποτέλεσμα το συσσωμάτωμα να διανύσει απόσταση d=0,5m πριν σταματήσει, εξαιτίας της ασκούμενης τριβής στη σανίδα.
i)  Πότε δέχεται μεγαλύτερη δύναμη τριβής η σανίδα, πριν ή μετά την τοποθέτηση του σώματος Σ πάνω της;
ii) Με ποια ταχύτητα το σώμα Σ συγκρούεται με την «πλάτη» της σανίδας;
iii) Ποια η ταχύτητα του συσσωματώματος, αμέσως μετά την κρούση;
iv) Να υπολογιστεί η μάζα Μ της σανίδας.
Δίνονται g=10m/s2, ενώ όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8.
ή
Ένα αμαξίδιο με «πλάτη»…
Ένα αμαξίδιο με «πλάτη»…

Ένα αμαξίδιο με «πλάτη»…

Η ορμή και η καμπυλόγραμμη κίνηση ενός σώματος.

Ένα σώμα κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο έχοντας ορμή pο=12kg∙m/s. Σε μια στιγμή t0=0, δέχεται την επίδραση μιας σταθερής οριζόντιας δύναμης μέτρου F=4Ν, με διεύθυνση κάθετη στη διεύθυνση της ταχύτητας υο, όπως στο σχήμα. (Το σχήμα είναι σε κάτοψη, πράγμα που σημαίνει ότι έχουν σχεδιαστεί τα πράγματα, όπως φαίνονται από έναν παρατηρητή, ο οποίος είναι πάνω από το οριζόντιο επίπεδο της κίνησης). Τη στιγμή t1=4s η ταχύτητα υ1
του σώματος σχηματίζει γωνία θ με τη διεύθυνση της ταχύτητας.
 Ζητούνται:
i) Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος, τις χρονικές στιγμές t0 και t1.
ii) Η μεταβολή της ορμής του σώματος από 0-4s.
iii) Η ορμή του σώματος τη στιγμή t1.
iv) Αν το σώμα έχει μάζα m=2kg, να βρεθούν:
α) Το έργο της δύναμης στο χρονικό διάστημα 0-4s.
β) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος τις χρονικές στιγμές t0 και t1.
ή
Η ορμή και η καμπυλόγραμμη κίνηση ενός σώματος.
Η ορμή και η καμπυλόγραμμη κίνηση ενός σώματος.

Η ορμή και η καμπυλόγραμμη κίνηση ενός σώματος.