Οι συχνότητες σε δυο ΟΚΚ

Δυο σώματα Α και Β με μάζες m1=2m και m2=m αντίστοιχα, τα οποία θεωρούνται υλικά σημεία, κινούνται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένα στα άκρα δύο νημάτων με μήκη  και 2, διαγράφοντας κυκλικές τροχιές, με κέντρα Ο και Κ και με ταχύτητες σταθερού μέτρου, όπως στο σχήμα. Σε ορισμένο χρόνο Δt και τα δυο σώματα εκτελούν 22 πλήρεις περιστροφές. Συνέχεια

Advertisements

Μια κατακόρυφη κυκλική τροχιά

Μια μικρή σφαίρα Σ, μάζας m=0,5kg, η οποία θεωρείται υλικό σημείο,  είναι προσκολλημένη στο άκρο μιας ράβδου μήκους l=1m, η οποία στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, γύρω από οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά από το άλλο της άκρο Ο, διαγράφοντας κατακόρυφο επίπεδο. Η περίοδος περιστροφής είναι Τ=2π/√6≈2,56s. Συνέχεια

Δυο «παρόμοιες» κινήσεις

Μια σφαίρα Σ1 μάζας m=0,2kg εκτοξεύεται οριζόντια από ένα σημείο Ο, το οποίο βρίσκεται σε ύψος h=2m από το έδαφος, με αρχική ταχύτητα μέτρου υο=5m/s. Συνέχεια

Μια οριζόντια βολή και μια κυκλική κίνηση

Μια μικρή σφαίρα Α μάζας m=0,2kg είναι δεμένη στο άκρο αβαρούς νήματος διαγράφοντας κατακόρυφο κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας R=l=1,25m. Συνέχεια

Η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της, σε μια κυκλική κίνηση.

Ένα σώμα μάζας 2kg διαγράφει οριζόντιο κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας R=(8/π) m, δεμένο στο άκρο νήματος, με ταχύτητα σταθερού μέτρου υ=2m/s. Τη στιγμή t0=0, το σώμα διέρχεται από το σημείο Α του σχήματος.
i)  Ποια η θέση και η ορμή του σώματος τη στιγμή t1=2s;
ii) Να βρεθούν:
α) Η μεταβολή της ορμής μεταξύ των χρονικών στιγμών tκαι t1.
β) Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος τη στιγμή t1.
iii) Αν τη στιγμή t2=4s, κόψουμε το νήμα να βρεθεί η θέση, η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος τη στιγμή t3=6s.
ή
Η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της, σε μια κυκλική κίνηση.

Μια ΟΚΚ σε κατακόρυφο επίπεδο.

Ένα σφαιρίδιο μάζας 0,4kg, δεμένο στο άκρο νήματος διαγράφει κατακόρυφο κύκλο, κέντρου Ο και ακτίνας R=0,8m με σταθερή κατά μέτρο ταχύτητα υ=4m/s. Για να μπορεί να πραγματοποιεί την παραπάνω κίνηση, δέχεται διαρκώς κάποια εφαπτομενική μεταβλητού μέτρου δύναμη F, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, για μια θέση Ε.
i) Έχει επιτάχυνση το σφαιρίδιο στη θέση Ε που δίνεται στο σχήμα; Αν ναι να σχεδιαστεί το διάνυσμά της, υπολογίζοντας και το μέτρο της. Η επιτάχυνση αυτή παραμένει σταθερή ή μεταβάλλεται στη διάρκεια της κίνησης του σφαιριδίου;
ii) Τη στιγμή που το σφαιρίδιο περνά από τη θέση Γ, με το νήμα οριζόντιο:
α) Να σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται πάνω του.
β) Να υπολογίσετε τα μέτρα τους.
iii) Στο σχήμα βλέπετε την ανώτερη θέση Β και την κατώτερη θέση της τροχιάς Δ. Για τις θέσεις αυτές να υπολογίσετε:
α) το μέτρο της δύναμης F που πρέπει να ασκείται στο σφαιρίδιο,
β) το μέτρο της τάσης του νήματος.
iv) Αν στην θέση Ε που φαίνεται στο σχήμα, το νήμα σχηματίζει με την οριζόντια θέση γωνία θ, όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8, να βρείτε για τη θέση αυτή:
α) Το μέτρο της δύναμης F.
β) Το μέτρο της τάσης του νήματος.
v) Θεωρώντας ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο Ο (προφανώς και από τις θέσεις Α και Γ):
α) Να υπολογίσετε τη δυναμική ενέργεια του σφαιριδίου στη θέση Ε, καθώς και το ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας στην θέση αυτή. Με ποιο ρυθμό μεταφέρεται ενέργεια, μέσω του έργου της δύναμης F,  στο σφαιρίδιο;
β) Αν το σφαιρίδιο περνά από τη θέση Α, τη στιγμή t=0, να βρεθεί η συνάρτηση της δυναμικής ενέργειας του σφαιριδίου σε συνάρτηση με το χρόνο και να παρασταθεί γραφικά.
Δίνεται g=10m/s2.
ή

Η κυκλική κίνηση και η Γεωμετρία!

Μια μικρή σφαίρα Α μάζας εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, με περίοδο Τ=3s, πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο ένα άκρο νήματος μήκους 3m, το άλλο άκρο του οποίου είναι σταθερά δεμένο σε σημείο K. Στο σχήμα δίνεται ένα σύστημα αξόνων x,y με αρχή τη θέση Ο της σφαίρας τη στιγμή t=0. Πάνω στον άξονα y και στην θέση y=- 3√3m, ηρεμεί μια δεύτερη σφαίρα Β.
i)   Ποια χρονική στιγμή, για πρώτη φορά, η απόσταση των δύο σφαιρών γίνεται μέγιστη;
ii) Να υπολογίσετε την μέγιστη απόσταση μεταξύ των δύο σφαιρών. Ποιες οι συντεταγμένες της θέσης της Α σφαίρας στο σύστημα αξόνων του σχήματος, τη στιγμή της μέγιστης απόστασης;
iii) Ποια χρονική στιγμή, για πρώτη φορά, η απόσταση των δύο σφαιρών γίνεται ελάχιστη; Αφού υπολογίστε την ελάχιστη απόσταση των δύο σφαιρών, να βρεθούν για τη θέση αυτή οι συνιστώσες αx και ατης επιτάχυνσης της Α σφαίρας.
iv)  Μια χρονική στιγμή t1, όπου 6,5s < t3 < 8,5s, το νήμα κόβεται με αποτέλεσμα η σφαίρα Α, να συγκρουσθεί μετά από λίγο με τη Β σφαίρα. Να βρεθεί η στιγμή t3 που κόπηκε το νήμα.
ή